Что такое сходящиеся и расходящиеся последовательности

Последовательность чисел является одним из основных понятий математики и хорошо изучена в курсе анализа. Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел и расходящейся, если её предел не существует. Рассмотрим подробнее определение и примеры сходящихся и расходящихся последовательностей.

1. Определение сходящихся и расходящихся последовательностей
2. Как определить сходимость последовательности
3. Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей
4. Сходящаяся последовательность
5. Расходящаяся последовательность
6. Сумма сходящихся последовательностей
7. Советы и выводы

Определение сходящихся и расходящихся последовательностей

Последовательность ${a_n}$ называется сходящейся к числу $a$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ можно указать такой номер $N$, что для всех номеров $n \geq N$ будут выполняться неравенства $|a_n — a| < \varepsilon$.

Если такого числа $a$ не существует, то последовательность называется расходящейся.

Как определить сходимость последовательности

Одним из способов определения сходимости последовательности является нахождение её верхнего и нижнего пределов. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают. Это означает, что значения последовательности становятся всё ближе к этому пределу с ростом номера элемента.

Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей

Сходящаяся последовательность

Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{1}{n}$. Очевидно, что эта последовательность является убывающей и положительной. При этом с ростом $n$ её элементы становятся всё ближе к нулю. Это значит, что её пределом является ноль и последовательность сходится к нулю.

Расходящаяся последовательность

Рассмотрим последовательность $a_n = n$. Эта последовательность растет бесконечно с ростом $n$ и не имеет конечного предела. Таким образом, последовательность $a_n = n$ является расходящейся.

Сумма сходящихся последовательностей

Если имеются две сходящиеся последовательности $a_n$ и $b_n$, то сумма этих последовательностей $a_n + b_n$ также является сходящейся последовательностью. Это следует из того, что при достаточно большом $n$ элементы каждой из последовательностей разбросаны не сильно и их сумма будет стремиться к сумме соответствующих пределов.

Советы и выводы

• Если последовательность не ограничена сверху или снизу, то можно сразу говорить о её расходимости.
• Знание сходимости и расходимости числовых последовательностей помогает понимать свойства рядов и интегралов.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• При решении задач на определение сходимости последовательности полезно использовать верхние и нижние пределы.
• Если необходимо доказать расходимость последовательности, можно использовать теорему о предельном переходе в неравенствах.

Таким образом, определение и изучение сходящихся и расходящихся последовательностей является важным элементом курса математического анализа и помогает понимать многие другие математические понятия.